NT 高三2024届普通高等学校招生全国统一考试模拟押题试卷(一)1文科数学(全国卷)答案

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21.解：(1)由题意，如图，设在C处相遇时，小艇的航行距离最短.由余弦定理得OC=AC+OA2-2 XACXOAXcos2∠OAC,…2分即tP=40r+90-1200ecos60=40r2-60u+90=400(k-子)月+675,当=子时，OC取得最小值，此时速度0675=20v3 n mile/h,OC=315W5,易得OC LAC.…7分所以要使相遇时小艇的航行距离最短，小艇的航行速度应为20√3 n mile/h.…8分(2)要用时最小，则首先速度最高，即为20 n mile/,h,则由(1)可得：OC2=AC2+0A2-2XACXOAXcos/OAC,00吧+900-12001c0s609,解得号，11分此时OA=OC=AC=30,△AOC为等边三角形，0=∠AOC-30°=30°，故要使小艇最快与轮船相遇，航行方向应为北偏东30°.…12分22.(1)证明：由tan2A(1+cosC)=1-cosC,得sinA(1+cosC)=cos2A(1-cosC),整理得cosC=n十0S入=cos2A,2分又A,C∈(0，)，2A∈(0，x),所以C=2A,sin C=sin 2A=2sin Acos A,…4分由正、余弦定理得c=2a.+c2-a2bc整理得C2(仍-a)=a(仍a2),…5分当a=b时，B=A,此时2A十A十A=元，所以A=年，则C=2A=受，不合题意，所以a≠b,故c2=a2十ab.…。6分(2)解：由(1)得c=2a0sA.则cosA=所以simA-√1-.…7分又A,B,C∈(0，)，所以2A∈(0，受)，x-3A∈(0，受)，则A∈（否，），所以号<<停.所以ae(2）.……9分又sinB=sin(π-A-C)=sin(π-3A)=sin3A=sin2 Acos A+cos2 Asin A=2sin A cos2A+(1-2 sin2A)sin A=3sin A-4 sinA,则6=3a-a1-)=是11分所以子+6+号≥2V合×受=2而，当且仅当片-号即a-2时取得等号5故号a十b的最小值为2而.…12分【高一第一次月考·数学参考答案第4页（共4页）】241647D