炎德英才大联考(附中版)湖南师大附中2025届高三月考试卷(三)3数学答案

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.【解析】（1)A方案到期时银行贷款本息为10×（1十10%)°≈26(万元)（3分）1.25°-1(2)A方案10年共获利：1十(1+25%)十+(1+25%)9=33.3（万元），（5分）1.25-1到期时银行贷款本息为10×（1十10%)10≈25.9（万元），所以A方案净收益为：33.3—25.9~7（万元），（7分）B方案10年共获利：1+1.3+…+(1+9×0.3)=10×1+10×(10-1)×0.323.5（万元），（9分）21.1(1.1101）到期时银行贷款本息为(1+10%)°+(1+10%)++(1+10%)17.5（万元），（11分）1.1-1所以B方案净收益为：23.5—17.5~6（万元），（12分）由比较知A方案比B方案更优.（13分）16.【解析】（1）连接PQ，有PQ|面ABCD，所以PQ|CD.在∧ACD中，AC=AD+CD²-2AD·CD·cos/ADC=5-4cos/ADC同理，在ABC中，有AC=2一2cos/ABC又因为ABC+ADC=180°，所以cosADC=-，ADC∈(0，180），所以ADC=60°，HAC=√3，故AC²+CD²=AD，即AC⊥CD.又因为PQAC=Q，PQ，ACC面PAC，所以CD⊥面PACCDC面PCD，所以面PCD⊥面PAC.（5分）过A作AH垂直PC于点H，因为面PCD|面PAC，面PCDO面PAC=PC，且AHC面PAC，有AH|面PCD.（7分）AQ_AD22√32√6所以AQ2,PQ=√PA²-AQ333过C作直线PQ的行线l，则l，AC，CD两两垂直，以C为原点建立如图所示空间直角标系，则：D(1,0,0),P(o32√6A(B3所以CD=（1,0,0)，Cp/332√63设面PCD的法向量为m=（x，y，)，m·CD=x=0则取m=(0，-2√2，1).3m·CF（y+2√2）=0，3同理，面PAB的法向量n=（6，一√2，一1）cos(m,n)m·n[m||n|（14分）3故所求锐二面角余弦值为（15分）317.【解析】（1)由f（x)=e+cosx+sin x，设h(x)=e+cos x+sinx,则h'(x)=e-sinx+cos x，当x≥0时，设p（x）=e-x-1，q（x）=x-sinx，p(x)=e-1≥0,q(x)=1-cosx≥0，:p(x)和q(x)在[0，+∞)上单调递增，p(x)≥p(0)=0，q(x)≥q(0)=0，当x≥0时，e≥x+1，x≥sinx，则h'(x)=e-sin x+cos x≥x+1-sin x+cos x=(x-sin x)+(1+cos x)≥0,:函数h(x)=e+cosx+sinx在[0，+∞)上单调递增，h(x)≥h(0)=2，即当x≥0时，f（x）≥2（7分）（2)由已知得g（x)=e+sinx-cosx-2x-1.①当x≥0时，g'(x)=e+cosx+sinx-2=f（x)-2≥0，g(x)在[0，+∞）上单调递增，又：g(0)=-1<0，g（π)=e-2π>0，由零点存在定理可知，g(x)在[0，十∞）上仅有一个零点.（10分）②当x<0时，设m(x)sinxcOSx(x<0），则m'(x)2(sinx-1eem（x）在（-∞，0）上单调递减，.m（x）>m（0）=1，:e+cos x+sinx-2<0，g'（x)=e+cos x+sinx-2<0，:g(x)在(一∞，0)上单调递减，又g（0）=-1<0,g（-π）=e+2π>0，由零点存在定理可知g(x)在(一∞，0)上仅有一个零点，综上所述，g(x)有且仅有2个零点（15分）数学参考答案（附中版）一3